圖一:割圓術(shù)與圓面積公式證明

圖二:劉徽原理的證明。⑴塹堵、⑵陽(yáng)馬、⑶鱉腝。

　　□　郭書春

　　◆劉徽發(fā)展了傳統(tǒng)的率概念和齊同原理,指出它們是“算之綱紀(jì)”,至今對(duì)改革中小學(xué)數(shù)學(xué)教材有指導(dǎo)意義；在世界數(shù)學(xué)史上首創(chuàng)極限思想和無(wú)窮小分割方法并嚴(yán)格證明了《九章筭術(shù)》提出的圓面積公式和自己提出的劉徽原理,將多面體體積理論建立在無(wú)窮小分割之上；在中國(guó)首創(chuàng)求圓周率的科學(xué)方法,奠定了中國(guó)的圓周率近似值的計(jì)算領(lǐng)先世界千余年的基礎(chǔ)；以演繹邏輯為主全面論證《九章筭術(shù)》的算法,奠定中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ),建立中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系。

　　中國(guó)古代最偉大的數(shù)學(xué)家不是祖沖之嗎?怎么會(huì)是劉徽呢?

　　確實(shí),祖沖之(429—500)是偉大的數(shù)學(xué)家。但是他的數(shù)學(xué)著作《綴術(shù)》由于隋唐最高數(shù)學(xué)學(xué)府算學(xué)館的學(xué)官“莫能究其深?yuàn)W”而失傳了。他的主要數(shù)學(xué)貢獻(xiàn),我們無(wú)法了解。現(xiàn)在僅知道他的兩項(xiàng)確切成就:一是將圓周率精確到8位有效數(shù)字,一是與他的兒子祖暅之完成的球體體積公式的推導(dǎo)。這兩項(xiàng)成就都是運(yùn)用劉徽提出的方法或建立理論基礎(chǔ)而取得的。從數(shù)學(xué)的角度而言,這當(dāng)然比祖沖之的現(xiàn)存貢獻(xiàn)更重要。　

　　可是,在上世紀(jì)70年代末以前,中國(guó)數(shù)學(xué)史界對(duì)劉徽沒有給予應(yīng)有的重視,甚至沒有達(dá)到日本學(xué)者30年代初的水平。其原因主要是劉徽《九章筭術(shù)注》十分難讀,對(duì)其最重要的成就,中國(guó)人沒有看懂。70年代末至90年代,國(guó)內(nèi)外出現(xiàn)了研究《九章筭術(shù)》及其劉徽注的高潮,對(duì)劉徽的主要成就和思想,產(chǎn)生劉徽注這樣劃時(shí)代著作的社會(huì)背景基本上弄清楚了,同時(shí)對(duì)《九章筭術(shù)》的編纂、版本和校勘等問題也有重大進(jìn)展,從而對(duì)劉徽有了全新的評(píng)價(jià)。

　　劉徽的主要數(shù)學(xué)貢獻(xiàn):發(fā)展了傳統(tǒng)的率概念和齊同原理,指出它們是“算之綱紀(jì)”,至今對(duì)改革中小學(xué)數(shù)學(xué)教材有指導(dǎo)意義；在世界數(shù)學(xué)史上首創(chuàng)極限思想和無(wú)窮小分割方法并嚴(yán)格證明了《九章筭術(shù)》提出的圓面積公式和自己提出的劉徽原理,將多面體體積理論建立在無(wú)窮小分割之上；在中國(guó)首創(chuàng)求圓周率的科學(xué)方法,奠定了中國(guó)的圓周率近似值的計(jì)算領(lǐng)先世界千余年的基礎(chǔ)；以演繹邏輯為主全面論證《九章筭術(shù)》的算法,奠定中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ),建立中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系。劉徽邏輯之嚴(yán)謹(jǐn),所達(dá)到的高度,在中國(guó)古代無(wú)居其右者。中國(guó)科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所于1985年10月舉辦現(xiàn)代數(shù)學(xué)討論班,根據(jù)國(guó)際慣例都要以一位偉大的數(shù)學(xué)家冠名,許多學(xué)者主張稱為祖沖之討論班,吳文俊先生力排眾議,主張以劉徽命名。吳先生認(rèn)為,劉徽無(wú)可爭(zhēng)議地是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中唯一的代表人物。

　　劉徽生平不詳。筆者根據(jù)《宋史·算學(xué)祀典》及有關(guān)史料推定,劉徽的籍貫是淄鄉(xiāng),屬今山東鄒平縣。劉徽于魏景元四年(公元263年)撰《九章筭術(shù)注》,今年恰好是1750周年。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在山東鄒平成功舉辦紀(jì)念劉徽與《九章筭術(shù)注》的國(guó)際學(xué)術(shù)研討會(huì)。

　　關(guān)于《九章筭術(shù)》

　　為了解劉徽,首先簡(jiǎn)要介紹一下《九章筭術(shù)》。人們常把《九章筭術(shù)》說成是“一題、一答、一術(shù)”的應(yīng)用問題集,這不符合《九章筭術(shù)》的實(shí)際情形。《九章筭術(shù)》的題、答、術(shù)的關(guān)系相當(dāng)復(fù)雜,情況如下:

　　大部分內(nèi)容是多題一術(shù)或一題一術(shù),甚或多題多術(shù)。其中又有不同的情形:有的是先給出一個(gè)或幾個(gè)例題,然后給出一條或幾條抽象性術(shù)文,而例題中只有題目、答案,沒有演算的術(shù)文；有的是先給出抽象的術(shù)文,再列出幾個(gè)例題,例題只有題目、答案,亦沒有演算細(xì)草；有的是先給出抽象性的總術(shù),再給出若干例題,例題包含了題目、答案、術(shù)文三項(xiàng)。以上總共82術(shù),196問,約占《九章筭術(shù)》全書的80%。盡管其表達(dá)方式有差異,卻有幾個(gè)共同特點(diǎn):術(shù)文都非常抽象、嚴(yán)謹(jǐn),具有普適性；術(shù)文占據(jù)中心位置,題目都是依附于術(shù)文的例題；術(shù)文具有構(gòu)造性、機(jī)械化的特點(diǎn)。我們將之稱為算法統(tǒng)率例題的形式。另有一少部分內(nèi)容采取應(yīng)用問題集的形式,確實(shí)是一題、一術(shù)、一答,共有50個(gè)題目。

　　這表明《九章筭術(shù)》不是一人一時(shí)編撰的,而是經(jīng)過許多世代的積累而成的。現(xiàn)存資料中最準(zhǔn)確也是最早談到《九章筭術(shù)》編纂的是劉徽。他認(rèn)為,《九章筭術(shù)》是由《周禮》“九數(shù)”發(fā)展起來的,在秦末戰(zhàn)亂中散壞。西漢張蒼(?—前152年)、耿壽昌(公元前1世紀(jì))搜集殘簡(jiǎn),加以刪補(bǔ),編定《九章筭術(shù)》�！�

　　《九章筭術(shù)》分方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章。其分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則、盈不足術(shù)、開方法則、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)加減法則和各種解勾股形方法等一系列數(shù)學(xué)成就超世界其他各國(guó)幾個(gè)世紀(jì)甚至上千年。《九章筭術(shù)》成書之時(shí),正值古希臘數(shù)學(xué)越過其高峰,走向衰替之際。《九章筭術(shù)》的問世標(biāo)志著中國(guó)及后來的印度、阿拉伯地區(qū)取代古希臘成為世界數(shù)學(xué)研究的重心,也標(biāo)志著世界數(shù)學(xué)從以《幾何原本》為代表的研究空間形式為主,轉(zhuǎn)變?yōu)橐匝芯繑?shù)量關(guān)系為主,標(biāo)志著數(shù)學(xué)機(jī)械化算法體系取代數(shù)學(xué)公理化演繹體系成為世界數(shù)學(xué)發(fā)展中的主流�！毒耪鹿g術(shù)》與《幾何原本》像兩顆璀璨的明珠,在古代的東西方輝映。

　　但是《九章筭術(shù)》也有不容忽視的缺點(diǎn),這就是沒有定義、推導(dǎo)和證明,分類亦不合理,有的內(nèi)容與章名不相稱。這就為劉徽在數(shù)學(xué)理論上做出貢獻(xiàn)留下了空間。

　　劉徽及其《九章筭術(shù)注》

　　《九章筭術(shù)注》原十卷,第十卷“重差”系自撰,因第一問是測(cè)望一個(gè)海島的高、遠(yuǎn),后來以《海島算經(jīng)》為名單行。此海島的原型可能是泰山。

　　由于《九章筭術(shù)注》比較完整地保存下來了,我們對(duì)劉徽了解得比較多。劉徽博覽群書,精心研究了墨家、儒家、道家等先秦諸子和兩漢學(xué)者的著作,深受思想界正始之音和辯難之風(fēng)的影響,善于從其中汲取思想資料指導(dǎo)自己的數(shù)學(xué)研究。劉徽注《九章筭術(shù)》的宗旨是“析理以辭”,“析理”是辯難之風(fēng)的要件。

　　一切從實(shí)際出發(fā),“不有明據(jù),辯之斯難”,是劉徽治學(xué)的重大特點(diǎn)。整個(gè)劉徽注言必有據(jù),不講空話。漢代盛行讖緯迷信,大科學(xué)家張衡也未能免俗,劉徽批評(píng)他是“欲協(xié)其陰陽(yáng)奇耦之說而不顧疏密矣”。

　　劉徽認(rèn)為人們的數(shù)學(xué)知識(shí)是不斷進(jìn)步的�！毒耪鹿g術(shù)》最遲在東漢已被官方奉為經(jīng)典,劉徽為之作注,自然對(duì)之很推崇。但他并不妄從,指出了它若干不準(zhǔn)確甚或錯(cuò)誤之處。敢于創(chuàng)新,是劉徽治學(xué)的突出特點(diǎn),《九章筭術(shù)注》的創(chuàng)新非常多。

　　劉徽具有不圖虛名,敢于承認(rèn)自己的不足,寄希望于后學(xué)的高尚品格。他對(duì)自己設(shè)計(jì)的牟合方蓋,沒能求出其體積,便老老實(shí)實(shí)地承認(rèn),表示“以俟能言者”。

　　劉徽主張靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法,指出不弄通數(shù)學(xué)原理,“徒按本術(shù)”,就像把琴瑟之弦的轉(zhuǎn)柱膠住而要調(diào)節(jié)弦的音律。他常常在《九章筭術(shù)》的術(shù)文之外,提出另外的方法,或者對(duì)《九章筭術(shù)》的同一條術(shù)文,記下不同的思路,提出要“廣異法”,也就是廣開思路。

　　總之,劉徽深邃的思想方法和數(shù)學(xué)理論蘊(yùn)含著對(duì)傳統(tǒng)文化的深刻理解。他受嵇康(223—262)、王弼(226—249)等玄學(xué)名士的影響尤其大,我們由此推斷,他大約生于公元3世紀(jì)20年代后期或稍后一點(diǎn),撰《九章筭術(shù)注》時(shí)年約30歲上下。有的畫家將正在注《九章筭術(shù)》的劉徽畫成滿臉皺紋的耄耋老人,有悖于魏晉的時(shí)代精神和特點(diǎn)。

　　割圓術(shù)與劉徽原理的證明

　　圓面積公式的證明及求圓周率程序。

　　劉徽的割圓術(shù)和圓周率是上世紀(jì)70年代末以前半個(gè)世紀(jì)中中國(guó)數(shù)學(xué)史界討論最多的課題�？墒呛苓z憾,所有的著述都忽視了割圓術(shù)的主旨——證明《九章筭術(shù)》的圓面積公式。

　　《九章筭術(shù)》提出圓面積公式:“術(shù)曰:半周半徑相乘得積步。”劉徽使用極限思想和無(wú)窮小分割方法證明這個(gè)公式。他首先從圓內(nèi)接正6邊形開始割圓,逐步得到正12、24、48……邊形。圓內(nèi)接正多邊形的面積當(dāng)然都小于圓面積。但無(wú)限分割下去,到“不可割”的時(shí)候,圓內(nèi)接正多邊形就與圓完全“合體”。然后,劉徽說:“以一面乘半徑,觚而裁之,每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪�！边@是說,將與圓合體的正無(wú)窮多邊形分割成以圓心為頂點(diǎn),構(gòu)成每邊為底的無(wú)窮多個(gè)小等腰三角形,這些小等腰三角形的高與其底的乘積是其面積的2倍,將它們?nèi)肯嗉泳褪?個(gè)圓面積。而所有這些小等腰三角形的底邊之和即是圓的周長(zhǎng),那么一個(gè)圓的面積就是圓周長(zhǎng)的一半乘半徑,便證明了《九章筭術(shù)》的圓面積公式。(如圖一)

　　這無(wú)疑是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。可是在上世紀(jì)70年代末以前,所有著述都忽視上面所引畫龍點(diǎn)睛的幾句話,不但沒有認(rèn)識(shí)到劉徽是在證明圓面積公式,反而將極限過程說成是為了求圓周率。實(shí)際上,計(jì)算圓周率不能求極限,只是極限思想在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

　　劉徽說《九章筭術(shù)》公式中的周、徑,“謂至然之?dāng)?shù)”,這就是圓周率。劉徽仍從直徑為2尺的圓的內(nèi)接正6邊形開始割圓,利用勾股定理,計(jì)算出各多邊形的邊長(zhǎng)以及正192邊形的面積的整數(shù)部分314寸2作為圓面積的近似值,代入剛剛證明了的圓面積公式,反求出圓周長(zhǎng)的近似值6尺2寸8分�！傲顝蕉吲c周六尺二寸八分相約,周得一百五十七,徑得五十”,相當(dāng)于3.14。

　　劉徽原理。

　　近代數(shù)學(xué)大師高斯曾提出一個(gè)猜想:多面體體積的解決不借助于無(wú)窮小分割是不是不可能的?這一猜想構(gòu)成了著名的希爾伯特《數(shù)學(xué)問題》(1900年)第三問題的基礎(chǔ)。實(shí)際上,早在高斯前1500多年,劉徽在證明劉徽原理時(shí),就接觸了高斯猜想和希爾伯特第三問題。

　　原來中國(guó)古代在多面體分割中,一個(gè)長(zhǎng)方體沿相對(duì)兩棱剖開,得到兩個(gè)楔形體,叫做塹堵。一個(gè)塹堵從一個(gè)頂點(diǎn)到底面一邊剖開,得到一個(gè)錐體,其高的垂足在底面的一角上,叫做陽(yáng)馬；剩下的是四面皆為勾股形的四面體,叫做鱉腝。為了證明《九章筭術(shù)》的陽(yáng)馬和鱉腝的體積公式,劉徽提出了一個(gè)重要原理:“邪解塹堵,其一為陽(yáng)馬,一為鱉腝。陽(yáng)馬居二,鱉腝居一,不易之率也�！�(如圖二)劉徽使用極限思想和無(wú)窮小分割方法證明了這個(gè)原理。

　　劉徽原理是其多面體體積理論的基礎(chǔ),表明劉徽把多面體體積理論建立在無(wú)窮小分割基礎(chǔ)上的思想,與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的體積理論驚人地一致。

　　劉徽的邏輯思想和數(shù)學(xué)理論體系

　　學(xué)術(shù)界的主流看法是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)沒有理論,主要是指沒有演繹推理。事實(shí)上,只要讀懂劉徽注就會(huì)發(fā)現(xiàn),他在數(shù)學(xué)命題的證明中主要使用了演繹推理,其中有三段論、關(guān)系推理、假言推理、選言推理、聯(lián)言推理、二難推理等演繹邏輯中最重要的推理形式。比如盈不足術(shù)劉徽注云:“注云若兩設(shè)有分者,齊其子,同其母。此問兩設(shè)俱見零分,故齊其子,同其母�！边@個(gè)推理完全符合三段論第一格的AAA式的規(guī)則。

　　劉徽注中甚至還有數(shù)學(xué)歸納法的雛形。比如關(guān)于劉徽原理的證明。劉徽首先通過第一次分割證明了在整個(gè)塹堵的四分之三中陽(yáng)馬與鱉腝的體積之比為2比1。這相當(dāng)于在n＝1時(shí)候,劉徽原理在塹堵的四分之三中成立。劉徽認(rèn)為第一次分割可以無(wú)限遞推,然后他說:“按余數(shù)具而可知者有一、二分之別,即一、二之為率定矣。其于理也豈虛矣。若為數(shù)而窮之,置余廣、袤、高之?dāng)?shù)各半之,則四分之三又可知也。半之彌少,其余彌細(xì)。至細(xì)曰微,微則無(wú)形。由是言之,安取余哉?”這相當(dāng)于設(shè)n＝k時(shí),劉徽原理成立,則當(dāng)n＝k＋1時(shí)劉徽原理成立,那么在整個(gè)塹堵中劉徽原理是成立的。總之,劉徽注使用了演繹推理,因此劉徽注大部分是真正的數(shù)學(xué)證明。

　　人們常說《九章筭術(shù)》建立了中國(guó)古代的數(shù)學(xué)體系。這種提法似是而非。實(shí)際上《九章筭術(shù)》沒有建立中國(guó)古代數(shù)學(xué)的理論體系,只是構(gòu)筑了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架。到劉徽完成《九章筭術(shù)注》,中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)才形成了數(shù)學(xué)理論體系。這個(gè)體系不是《九章筭術(shù)》數(shù)學(xué)框架的簡(jiǎn)單繼承和補(bǔ)充,而是對(duì)它的根本改造。

　　因此,我們認(rèn)為,首先,劉徽是中國(guó)古代最偉大的數(shù)學(xué)家。除了祖沖之,宋元數(shù)學(xué)高潮的代表人物賈憲、李冶、秦九韶、朱世杰等在有的方面當(dāng)然超過劉徽,在其數(shù)學(xué)知識(shí)之全面與創(chuàng)造性方面也與劉徽不分軒輊,但他們對(duì)極限思想和無(wú)窮小分割方法方面并無(wú)論述,在演繹邏輯和數(shù)學(xué)證明上也遠(yuǎn)遜于劉徽。而且他們比劉徽晚了七百到一千余年。第二,劉徽《九章筭術(shù)注》奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ),建立了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系。劉徽注無(wú)論從數(shù)學(xué)的研究方向,還是理論高度,邏輯方法,都與《九章筭術(shù)》時(shí)代有明顯的不同。第三,以劉徽《九章筭術(shù)注》為代表的魏晉南北朝數(shù)學(xué)為與春秋戰(zhàn)國(guó)秦漢以《九章筭術(shù)》為代表的數(shù)學(xué)框架的確立、唐中葉至元中葉的籌算高潮并列為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的三個(gè)高潮時(shí)期。

　　(作者系中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所研究員)