圖一:割圓術(shù)與圓面積公式證明
圖二:劉徽原理的證明。⑴塹堵、⑵陽馬、⑶鱉腝。
□ 郭書春
◆劉徽發(fā)展了傳統(tǒng)的率概念和齊同原理,指出它們是“算之綱紀(jì)”,至今對改革中小學(xué)數(shù)學(xué)教材有指導(dǎo)意義；在世界數(shù)學(xué)史上首創(chuàng)極限思想和無窮小分割方法并嚴(yán)格證明了《九章筭術(shù)》提出的圓面積公式和自己提出的劉徽原理,將多面體體積理論建立在無窮小分割之上；在中國首創(chuàng)求圓周率的科學(xué)方法,奠定了中國的圓周率近似值的計算領(lǐng)先世界千余年的基礎(chǔ)；以演繹邏輯為主全面論證《九章筭術(shù)》的算法,奠定中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ),建立中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系。
中國古代最偉大的數(shù)學(xué)家不是祖沖之嗎?怎么會是劉徽呢?
確實,祖沖之(429—500)是偉大的數(shù)學(xué)家。但是他的數(shù)學(xué)著作《綴術(shù)》由于隋唐最高數(shù)學(xué)學(xué)府算學(xué)館的學(xué)官“莫能究其深奧”而失傳了。他的主要數(shù)學(xué)貢獻(xiàn),我們無法了解�，F(xiàn)在僅知道他的兩項確切成就:一是將圓周率精確到8位有效數(shù)字,一是與他的兒子祖暅之完成的球體體積公式的推導(dǎo)。這兩項成就都是運用劉徽提出的方法或建立理論基礎(chǔ)而取得的。從數(shù)學(xué)的角度而言,這當(dāng)然比祖沖之的現(xiàn)存貢獻(xiàn)更重要�！�
可是,在上世紀(jì)70年代末以前,中國數(shù)學(xué)史界對劉徽沒有給予應(yīng)有的重視,甚至沒有達(dá)到日本學(xué)者30年代初的水平。其原因主要是劉徽《九章筭術(shù)注》十分難讀,對其最重要的成就,中國人沒有看懂。70年代末至90年代,國內(nèi)外出現(xiàn)了研究《九章筭術(shù)》及其劉徽注的高潮,對劉徽的主要成就和思想,產(chǎn)生劉徽注這樣劃時代著作的社會背景基本上弄清楚了,同時對《九章筭術(shù)》的編纂、版本和�？钡葐栴}也有重大進(jìn)展,從而對劉徽有了全新的評價。
劉徽的主要數(shù)學(xué)貢獻(xiàn):發(fā)展了傳統(tǒng)的率概念和齊同原理,指出它們是“算之綱紀(jì)”,至今對改革中小學(xué)數(shù)學(xué)教材有指導(dǎo)意義；在世界數(shù)學(xué)史上首創(chuàng)極限思想和無窮小分割方法并嚴(yán)格證明了《九章筭術(shù)》提出的圓面積公式和自己提出的劉徽原理,將多面體體積理論建立在無窮小分割之上；在中國首創(chuàng)求圓周率的科學(xué)方法,奠定了中國的圓周率近似值的計算領(lǐng)先世界千余年的基礎(chǔ)；以演繹邏輯為主全面論證《九章筭術(shù)》的算法,奠定中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ),建立中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系。劉徽邏輯之嚴(yán)謹(jǐn),所達(dá)到的高度,在中國古代無居其右者。中國科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所于1985年10月舉辦現(xiàn)代數(shù)學(xué)討論班,根據(jù)國際慣例都要以一位偉大的數(shù)學(xué)家冠名,許多學(xué)者主張稱為祖沖之討論班,吳文俊先生力排眾議,主張以劉徽命名。吳先生認(rèn)為,劉徽無可爭議地是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中唯一的代表人物。
劉徽生平不詳。筆者根據(jù)《宋史·算學(xué)祀典》及有關(guān)史料推定,劉徽的籍貫是淄鄉(xiāng),屬今山東鄒平縣。劉徽于魏景元四年(公元263年)撰《九章筭術(shù)注》,今年恰好是1750周年。國內(nèi)外學(xué)者在山東鄒平成功舉辦紀(jì)念劉徽與《九章筭術(shù)注》的國際學(xué)術(shù)研討會。
關(guān)于《九章筭術(shù)》
為了解劉徽,首先簡要介紹一下《九章筭術(shù)》。人們常把《九章筭術(shù)》說成是“一題、一答、一術(shù)”的應(yīng)用問題集,這不符合《九章筭術(shù)》的實際情形�！毒耪鹿g術(shù)》的題、答、術(shù)的關(guān)系相當(dāng)復(fù)雜,情況如下:
大部分內(nèi)容是多題一術(shù)或一題一術(shù),甚或多題多術(shù)。其中又有不同的情形:有的是先給出一個或幾個例題,然后給出一條或幾條抽象性術(shù)文,而例題中只有題目、答案,沒有演算的術(shù)文；有的是先給出抽象的術(shù)文,再列出幾個例題,例題只有題目、答案,亦沒有演算細(xì)草；有的是先給出抽象性的總術(shù),再給出若干例題,例題包含了題目、答案、術(shù)文三項。以上總共82術(shù),196問,約占《九章筭術(shù)》全書的80%。盡管其表達(dá)方式有差異,卻有幾個共同特點:術(shù)文都非常抽象、嚴(yán)謹(jǐn),具有普適性；術(shù)文占據(jù)中心位置,題目都是依附于術(shù)文的例題；術(shù)文具有構(gòu)造性、機械化的特點。我們將之稱為算法統(tǒng)率例題的形式。另有一少部分內(nèi)容采取應(yīng)用問題集的形式,確實是一題、一術(shù)、一答,共有50個題目。
這表明《九章筭術(shù)》不是一人一時編撰的,而是經(jīng)過許多世代的積累而成的�，F(xiàn)存資料中最準(zhǔn)確也是最早談到《九章筭術(shù)》編纂的是劉徽。他認(rèn)為,《九章筭術(shù)》是由《周禮》“九數(shù)”發(fā)展起來的,在秦末戰(zhàn)亂中散壞。西漢張蒼(?—前152年)、耿壽昌(公元前1世紀(jì))搜集殘簡,加以刪補,編定《九章筭術(shù)》�！�
《九章筭術(shù)》分方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章。其分?jǐn)?shù)四則運算法則、盈不足術(shù)、開方法則、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)加減法則和各種解勾股形方法等一系列數(shù)學(xué)成就超世界其他各國幾個世紀(jì)甚至上千年�！毒耪鹿g術(shù)》成書之時,正值古希臘數(shù)學(xué)越過其高峰,走向衰替之際�！毒耪鹿g術(shù)》的問世標(biāo)志著中國及后來的印度、阿拉伯地區(qū)取代古希臘成為世界數(shù)學(xué)研究的重心,也標(biāo)志著世界數(shù)學(xué)從以《幾何原本》為代表的研究空間形式為主,轉(zhuǎn)變?yōu)橐匝芯繑?shù)量關(guān)系為主,標(biāo)志著數(shù)學(xué)機械化算法體系取代數(shù)學(xué)公理化演繹體系成為世界數(shù)學(xué)發(fā)展中的主流�！毒耪鹿g術(shù)》與《幾何原本》像兩顆璀璨的明珠,在古代的東西方輝映。
但是《九章筭術(shù)》也有不容忽視的缺點,這就是沒有定義、推導(dǎo)和證明,分類亦不合理,有的內(nèi)容與章名不相稱。這就為劉徽在數(shù)學(xué)理論上做出貢獻(xiàn)留下了空間。
劉徽及其《九章筭術(shù)注》
《九章筭術(shù)注》原十卷,第十卷“重差”系自撰,因第一問是測望一個海島的高、遠(yuǎn),后來以《海島算經(jīng)》為名單行。此海島的原型可能是泰山。
由于《九章筭術(shù)注》比較完整地保存下來了,我們對劉徽了解得比較多。劉徽博覽群書,精心研究了墨家、儒家、道家等先秦諸子和兩漢學(xué)者的著作,深受思想界正始之音和辯難之風(fēng)的影響,善于從其中汲取思想資料指導(dǎo)自己的數(shù)學(xué)研究。劉徽注《九章筭術(shù)》的宗旨是“析理以辭”,“析理”是辯難之風(fēng)的要件。
一切從實際出發(fā),“不有明據(jù),辯之斯難”,是劉徽治學(xué)的重大特點。整個劉徽注言必有據(jù),不講空話。漢代盛行讖緯迷信,大科學(xué)家張衡也未能免俗,劉徽批評他是“欲協(xié)其陰陽奇耦之說而不顧疏密矣”。
劉徽認(rèn)為人們的數(shù)學(xué)知識是不斷進(jìn)步的�！毒耪鹿g術(shù)》最遲在東漢已被官方奉為經(jīng)典,劉徽為之作注,自然對之很推崇。但他并不妄從,指出了它若干不準(zhǔn)確甚或錯誤之處。敢于創(chuàng)新,是劉徽治學(xué)的突出特點,《九章筭術(shù)注》的創(chuàng)新非常多。
劉徽具有不圖虛名,敢于承認(rèn)自己的不足,寄希望于后學(xué)的高尚品格。他對自己設(shè)計的牟合方蓋,沒能求出其體積,便老老實實地承認(rèn),表示“以俟能言者”。
劉徽主張靈活運用數(shù)學(xué)方法,指出不弄通數(shù)學(xué)原理,“徒按本術(shù)”,就像把琴瑟之弦的轉(zhuǎn)柱膠住而要調(diào)節(jié)弦的音律。他常常在《九章筭術(shù)》的術(shù)文之外,提出另外的方法,或者對《九章筭術(shù)》的同一條術(shù)文,記下不同的思路,提出要“廣異法”,也就是廣開思路。
總之,劉徽深邃的思想方法和數(shù)學(xué)理論蘊含著對傳統(tǒng)文化的深刻理解。他受嵇康(223—262)、王弼(226—249)等玄學(xué)名士的影響尤其大,我們由此推斷,他大約生于公元3世紀(jì)20年代后期或稍后一點,撰《九章筭術(shù)注》時年約30歲上下。有的畫家將正在注《九章筭術(shù)》的劉徽畫成滿臉皺紋的耄耋老人,有悖于魏晉的時代精神和特點。
割圓術(shù)與劉徽原理的證明
圓面積公式的證明及求圓周率程序。
劉徽的割圓術(shù)和圓周率是上世紀(jì)70年代末以前半個世紀(jì)中中國數(shù)學(xué)史界討論最多的課題�？墒呛苓z憾,所有的著述都忽視了割圓術(shù)的主旨——證明《九章筭術(shù)》的圓面積公式。
《九章筭術(shù)》提出圓面積公式:“術(shù)曰:半周半徑相乘得積步。”劉徽使用極限思想和無窮小分割方法證明這個公式。他首先從圓內(nèi)接正6邊形開始割圓,逐步得到正12、24、48……邊形。圓內(nèi)接正多邊形的面積當(dāng)然都小于圓面積。但無限分割下去,到“不可割”的時候,圓內(nèi)接正多邊形就與圓完全“合體”。然后,劉徽說:“以一面乘半徑,觚而裁之,每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪�！边@是說,將與圓合體的正無窮多邊形分割成以圓心為頂點,構(gòu)成每邊為底的無窮多個小等腰三角形,這些小等腰三角形的高與其底的乘積是其面積的2倍,將它們?nèi)肯嗉泳褪?個圓面積。而所有這些小等腰三角形的底邊之和即是圓的周長,那么一個圓的面積就是圓周長的一半乘半徑,便證明了《九章筭術(shù)》的圓面積公式。(如圖一)
這無疑是一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明�？墒窃谏鲜兰o(jì)70年代末以前,所有著述都忽視上面所引畫龍點睛的幾句話,不但沒有認(rèn)識到劉徽是在證明圓面積公式,反而將極限過程說成是為了求圓周率。實際上,計算圓周率不能求極限,只是極限思想在近似計算中的應(yīng)用。
劉徽說《九章筭術(shù)》公式中的周、徑,“謂至然之?dāng)?shù)”,這就是圓周率。劉徽仍從直徑為2尺的圓的內(nèi)接正6邊形開始割圓,利用勾股定理,計算出各多邊形的邊長以及正192邊形的面積的整數(shù)部分314寸2作為圓面積的近似值,代入剛剛證明了的圓面積公式,反求出圓周長的近似值6尺2寸8分。“令徑二尺與周六尺二寸八分相約,周得一百五十七,徑得五十”,相當(dāng)于3.14。
劉徽原理。
近代數(shù)學(xué)大師高斯曾提出一個猜想:多面體體積的解決不借助于無窮小分割是不是不可能的?這一猜想構(gòu)成了著名的希爾伯特《數(shù)學(xué)問題》(1900年)第三問題的基礎(chǔ)。實際上,早在高斯前1500多年,劉徽在證明劉徽原理時,就接觸了高斯猜想和希爾伯特第三問題。
原來中國古代在多面體分割中,一個長方體沿相對兩棱剖開,得到兩個楔形體,叫做塹堵。一個塹堵從一個頂點到底面一邊剖開,得到一個錐體,其高的垂足在底面的一角上,叫做陽馬；剩下的是四面皆為勾股形的四面體,叫做鱉腝。為了證明《九章筭術(shù)》的陽馬和鱉腝的體積公式,劉徽提出了一個重要原理:“邪解塹堵,其一為陽馬,一為鱉腝。陽馬居二,鱉腝居一,不易之率也。”(如圖二)劉徽使用極限思想和無窮小分割方法證明了這個原理。
劉徽原理是其多面體體積理論的基礎(chǔ),表明劉徽把多面體體積理論建立在無窮小分割基礎(chǔ)上的思想,與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的體積理論驚人地一致。
劉徽的邏輯思想和數(shù)學(xué)理論體系
學(xué)術(shù)界的主流看法是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)沒有理論,主要是指沒有演繹推理。事實上,只要讀懂劉徽注就會發(fā)現(xiàn),他在數(shù)學(xué)命題的證明中主要使用了演繹推理,其中有三段論、關(guān)系推理、假言推理、選言推理、聯(lián)言推理、二難推理等演繹邏輯中最重要的推理形式。比如盈不足術(shù)劉徽注云:“注云若兩設(shè)有分者,齊其子,同其母。此問兩設(shè)俱見零分,故齊其子,同其母�！边@個推理完全符合三段論第一格的AAA式的規(guī)則。
劉徽注中甚至還有數(shù)學(xué)歸納法的雛形。比如關(guān)于劉徽原理的證明。劉徽首先通過第一次分割證明了在整個塹堵的四分之三中陽馬與鱉腝的體積之比為2比1。這相當(dāng)于在n＝1時候,劉徽原理在塹堵的四分之三中成立。劉徽認(rèn)為第一次分割可以無限遞推,然后他說:“按余數(shù)具而可知者有一、二分之別,即一、二之為率定矣。其于理也豈虛矣。若為數(shù)而窮之,置余廣、袤、高之?dāng)?shù)各半之,則四分之三又可知也。半之彌少,其余彌細(xì)。至細(xì)曰微,微則無形。由是言之,安取余哉?”這相當(dāng)于設(shè)n＝k時,劉徽原理成立,則當(dāng)n＝k＋1時劉徽原理成立,那么在整個塹堵中劉徽原理是成立的�？傊�,劉徽注使用了演繹推理,因此劉徽注大部分是真正的數(shù)學(xué)證明。
人們常說《九章筭術(shù)》建立了中國古代的數(shù)學(xué)體系。這種提法似是而非。實際上《九章筭術(shù)》沒有建立中國古代數(shù)學(xué)的理論體系,只是構(gòu)筑了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架。到劉徽完成《九章筭術(shù)注》,中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)才形成了數(shù)學(xué)理論體系。這個體系不是《九章筭術(shù)》數(shù)學(xué)框架的簡單繼承和補充,而是對它的根本改造。
因此,我們認(rèn)為,首先,劉徽是中國古代最偉大的數(shù)學(xué)家。除了祖沖之,宋元數(shù)學(xué)高潮的代表人物賈憲、李冶、秦九韶、朱世杰等在有的方面當(dāng)然超過劉徽,在其數(shù)學(xué)知識之全面與創(chuàng)造性方面也與劉徽不分軒輊,但他們對極限思想和無窮小分割方法方面并無論述,在演繹邏輯和數(shù)學(xué)證明上也遠(yuǎn)遜于劉徽。而且他們比劉徽晚了七百到一千余年。第二,劉徽《九章筭術(shù)注》奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ),建立了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系。劉徽注無論從數(shù)學(xué)的研究方向,還是理論高度,邏輯方法,都與《九章筭術(shù)》時代有明顯的不同。第三,以劉徽《九章筭術(shù)注》為代表的魏晉南北朝數(shù)學(xué)為與春秋戰(zhàn)國秦漢以《九章筭術(shù)》為代表的數(shù)學(xué)框架的確立、唐中葉至元中葉的籌算高潮并列為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的三個高潮時期。
(作者系中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所研究員)
